Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1 : 

Résoudre \[4xy''+2y'=y\] sur $\mathbb R_+^*$ et montrer qu'il existe une solution dont l'inverse est aussi solution.

Exercice 2 :

Soient
\[n\in\mathbb N,\qquad
(a_1,\ldots,a_{n+1})\in\mathbb R^{n+1}
\]
et
\[P\in\mathbb R_n[X]\]

On pose
\[M=\left[P^{(i-1)}(a_j)\right]_
{\substack{1\le i\le n+1\\1\le j\le n+1}}.
\]

Déterminer
\[
\operatorname{rg}(M).
\]

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pour l'exercice 2 :
    Regarder le cas $M\in GL_{n+1}(\mathbb R)$
    Essayer de comprendre la structure de la matrice $M$  

Commentaires divers