Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1 :

Exo 68 de la banque CCINP

Exercice 2 :

Soit $(x_1,...,x_n)$ un n-uplet de réels strictement positifs et $s$ un réel strictement positif, on définit le réel $m_s(x)$ définit par:

$m_s(x) = (\frac{x_1^s,...,x_n^s}{n})^\frac{1}{s}$

1)a) Étudier la convexité de la fonction $t\longmapsto t^s$ sur $R^*_+$

b) Montrer que pour $s \geq 1$ on a :

$m_s(x) \geq  m_1(x)$

c) Soit $s'$ tel que $s' \geq s > 0$ on a :

$m_s'(x) \geq m_s(x)$

2) Étudier la monotonie de la fonction $s\longmapsto m_s(x)$ sur $R^*_-$

3)a) Déterminer un équivalent de $$ lorsque $s$ tend vers zéro

b) Je ne me souvient plus exactement de l'énoncé mais il fallait en déduire un équivalent de $ln(m_s(x))$ et en déduire ensuite la valeur de $m_0(x)=\lim_{s \to 0} m_s(x)$

c) Montrer que on a :

$m_{-1}(x) \leq m_0(x) \leq m_1(x) \leq m_2(x)$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers