Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soient X et Y deux variables aléatoires suivant la loi de poisson de paramètre $\lambda$

On pose I(x)=$\int_{0}^{1} \frac{ch(xt)}{\sqrt{1-t^{2}}} dt $ , J(x)=$\frac{2}{\pi}e^{-2x}I(2x)$ et p($\lambda$)=$P(X=Y)$

1. a) Coder sur python la fonction p. (Il y avait une autre petite question)

b) Coder sur python la fonction I à l'aide de la méthode des réctangles

c) Tracer sur un meme graphe p et J en fonction de x pour x appartenant à $]0;20]$. Emettre une hypothèse.

d) Tracer la fonction qui à x associe $\sqrt{\pi x}p(x)$ pour x appartenant à $]0;20]$. Emettre une hypothèse.

2. Montrer que I est bien définie pour x appartenant à $\R$

3. On pose $W_n=\int_{0}^{1} \frac{t^{2n}}{\sqrt{1-t^{2}}} dt$

a) Montrer que $W_{n+1}=(2n+1)(W_n-W_{n+1})$

b) En déduire $W_n$ en fonction de n 

4. Déterminer le développement en série entière de I

5. Démontrer l'hypothèse émise à la question 1.c)

On rappelle que $\int_{0}^{+\infty} e^{-t^{2}} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

6. Trouver un équivalent en $+\infty$ de $f(x)=\int_{0}^{1} \frac{e^{-xt}}{\sqrt{t}}dt $

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

Il y avait une autre question entre le 5. et le 6. dont je ne me souviens pas.

Il restait un autre équivalent à trouver et une dernière question pour terminer la planche.