Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1:

Soient p et q deux projecteurs orthogonnaux sur un espace vectoriel E de dimension finie 

1. Montrer que Im(p) est stable par p$\circ$q et que l'endomorphisme induit par p$\circ$q sur Im(p) est autoadjoint

2. Montrer que Ker(p$\circ$q)= Ker(q) $\oplus$ (Im(q)$\cap$Ker(p))

3. Montrer que E = Im(p) + Ker(p$\circ$q)

4. p$\circ$q diagonalisable ? 

Il reste une dernière question dont je ne me souviens plus 

Exercice 2:

Etudier la nature de $\int_{0}^{+\infty} \frac{sin(x)}{\sqrt{x+sin(x)}} dx$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Exercice 1:

3. Que vaut l'orthogonal de la somme de deux sous-espaces

Exercice 2:

Intégration par parties

Commentaires divers

Examinateur très silencieux.