Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1 :

Pour $x>0$, on pose $f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-xt}sin(t)}{t}\,dt$.

1) Justifier le bien-fondé de $f$ et en déterminer une expression.

2) En déduire $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{sin(t)}{t}\,dt$

Exercice 2 :

Pour $A\in M_n(\mathbb{C})$, on pose $\Phi_A:M\mapsto AM-MA$.

Étudier la diagonalisibilité de $\Phi_A$ selon celle de $A$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pour la question 2 de l'exercice 1, séparer l'intégrale en deux pour montrer que $f(x)\xrightarrow[x\to0]{}\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{sin(t)}{t}\,dt$.

Pour l'exercice 2, écrire $E_{i,j}=e_i\,e_j^T$ et étudier $\Phi_A(E_{i,j})$.