Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Soit $ A=\begin{pmatrix}
0 & 0 &  0& 1 \\
0 &0  & 1 & 0 \\
0 & 1&0  & 0 \\
 1&0  & 0 &  0\\
\end{pmatrix}$

1. Sans aucun calcul, $A$ est-elle diagonalisable ? Justifier.

2. Dans un espace euclidien, considérons l'endomorphisme $u$ de matrice $A$ dans une base orthonormée. Que peut-on dire de $u$ ?

3. Quelles sont les valeurs propres et sous-espaces propres de $A$ ? 

$\ex 2$

Montrer que :

                        $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty }\int_{0}^{1}x^{2n}(1-x)\, \mathrm{d}x=\int_{0}^{1}\frac 1{1+x}\, \mathrm{d}x$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers