Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$
On pose :  $\forall n\in\N,\ a_n=\displaystyle\int_0^{\frac \pi 2}\cos^nt\,\mathrm dt$.
1. Déterminer le sens de variation de $(a_n)_{n\in\N}$. En déduire que la suite converge.
2. Déterminer la limite de $(a_n)_{n\in\N}$.
3. Montrer que : $\forall n\in\N^*,\ a_{n+1}=\dfrac n{n+1}\,a_{n-1}$.
4. Montrer que $\sum_{n\geqslant 0} (-1)^na_n$ converge.
5. On considère la série entière $\sum_{n\geqslant 0}a_nx^n$, de rayon $R$, et $S$ la fonction somme associée.
    a) Montrer que $R\geqslant 1$.
    b) Montrer que $S$ est solution de l'équation différentielle :

                                    $(1-x^2)y'(x)-xy(x)=1$

$\ex 2$

On pose : 
                     $\begin{array}{cccl}\psi: & \R_2[X] & \longrightarrow &  \R_2[X]\\ & P &\longmapsto &P(X+1)-P(X-1)\end{array}$

1. Déterminer $\psi(1),\,\psi(X),\,\psi(X^2)$.

2. Vérifier que $\psi(P)\in\R_2[X]$ pour tout $P\in\R_2[X]$ et montrer que $\psi\in\mathcal L(\R_2[X])$.

3. Déterminer $\operatorname{Im}\psi$ et $\operatorname{Ker}\psi$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

• IMG_1923.jpeg