Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$ (Sans préparation)

On considère les applications $$\mathcal N : \left( \begin{array}{rcl}\mathscr M_n (\mathbb R) & \rightarrow & \mathbb R \\ A & \mapsto & \displaystyle\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1} \, \lvert a_{ij} \rvert \end{array}\right) \qquad \lvert\lvert \cdot \rvert\rvert : \left( \begin{array}{rcl}\mathbb R^n & \rightarrow & \mathbb R \\ X & \mapsto & \displaystyle\sum^n_{k=1}  \,\lvert x_k \rvert\end{array}\right)$$

1) Montrer que $\mathcal N$ est une norme.

2) Montrer que pour tout $A \in \mathscr M_n (\mathbb R)$, $X \in \mathbb R^n$ $$\lvert\lvert AX \rvert\rvert \leqslant \mathcal N(A) \lvert\lvert X\rvert\rvert$$

3) Soit $\alpha \in \, ]0,1[$ . On considère l'ensemble $K_\alpha = \left\{A \in \mathscr M_n (\mathbb R ) \ \vert \ \mathcal N (A- I_n) \leqslant \alpha \right\}$. On considère l'application $\varphi : \left(\begin{array}{rcl}K_\alpha & \rightarrow & \mathbb R \\ A & \mapsto & \det\!\left(A^{-1}\right)\end{array} \right)$. Montrer que $\varphi$ est bornée et atteint ses bornes.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

3) Pour montrer que $K_\alpha \subset \mathrm{GL}_n(\mathbb R)$, on peut montrer l'injectivité de tous les éléments de $K_\alpha$.

Commentaires divers

Examinateur très sympathique.