Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$   (avec préparation)

Soit $I_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin nx}{1+n^4x^3}\,\mathrm dx$.
1. Montrer que la suite $(I_n)_{n\in\N}$ est bien définie.

2. Soit $n\in\N^*$. Montrer que : 
$I_n=\dfrac 1{n^\frac 53}J_n$  où  $\ J_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac {n^\frac 13\sin(tn^{-\frac 13})}{1+t^3}\,\mathrm dt$.

3. Montrer que $(J_n)_{n\in\N}$ converge vers $K=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac {t}{1+t^3}\,\mathrm dt$. En déduire la limite de $I_n$.

4. Montrer à l'aide d'un changement de variable astucieux que $K=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac {1}{1+t^3}\,\mathrm dt$.

5. Montrer que $2K=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac {1+t}{1+t^3}\,\mathrm dt=\frac{4\pi}{3^\frac 32}$ .

6. Déterminer la nature de la série $\sum_{n\geqslant 1}I_n$.

$\ex 2$    (sans préparation)

Soit $n\in\N^*,\, X\in\mathfrak M_{n,1}(\R)$ et $A=XX^\top$.

1. Déterminer $\operatorname{rg}A$ et $\operatorname{Sp}A$.

2. Pour $\lambda\in\R$, exprimer $\chi_A(\lambda)$ en fonction de ????

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

• IMG_4956.jpeg
• IMG_4957.jpeg