Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

On pose $I(x)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\ln(1-2x\cos\theta+x^2)\,\mathrm d\theta$.

1. Montrer que $I(-1)$ existe et déterminer le domaine de définition de $I$.

       $\blacktriangleright$ Si $x\in\left]-1,1\right[$, on définit :

      $\begin{array}{cccl}f_x: & [-\pi,\pi] & \to & \R\\ &\theta & \mapsto & \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n\cos n\theta}{n}\end{array}$    

      $\begin{array}{cccl}g_x: & [-\pi,\pi] & \to & \R\\ &\theta & \mapsto & \ln(1-2x\cos\theta+x^2)\end{array}$.

2.  A l'aide du logiciel, déterminer le facteur de colinéarité entre $f_x$ et $g_x$.

3. Le démontrer (on pourra commencer à montrer que $f_x$ est dérivable sur $[-\pi,\pi]$).

4. Oubliée...

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pour la question 1, montrer l'existence de $I(-1)$, faire un changement de variable puis un DL du cosinus.

Commentaires divers

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