Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Mathématiques-Informatique

Énoncé(s) donné(s)

1) Écrire une fonction python prenant en variable un complexe $z$ tel que $Re(z)>-1$ et renvoyant la valeur de $\displaystyle\int_0^1 \frac{t^z}{1+t}\,dt$ obtenue par le module scipy.integrate.

2) Écrire une fonction python prenant en variable un complexe $z$ tel que $Re(z)>-1$ et renvoyant une valeur approchée de $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(k-1)!}{2^k(z+1)...(z+k)}$. Comparer avec la première question.

3) Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\alpha}{n}+v_n$ et $\sum v_n$ converge. En étudiant $a_{n+1}-a_n$ où $a_n=ln(n^\alpha u_n)$, montrer que $u_n\sim Kn^{-\alpha}$ pour un certain $K\in\mathbb{R}$.

4) Avec $u_n=\frac{n!\,e^n}{n^n}$, montrer que $u_n\sim K\sqrt{n}$ pour un certain $K\in\mathbb{R}$.

5) Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\alpha}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$. Montrer que si $\alpha<1$, $\sum u_n$ diverge, et si $\alpha>1$, $\sum u_n$ converge. Étudier $\sum \frac{1}{n\,ln(n)}$ et $\sum \frac{1}{n\,ln^2(n)}$ et discuter le cas $\alpha=1$.

6) Montrer que la fonction $f$ définie par $f(z)=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^z}{1+t}\,dt$ est continue sur $D=\{z\in\mathbb{C}\,;\,Re(z)>-1\}$.

Commentaires divers

L'énoncé initial comportait onze questions.

Pour les questions de python, un formulaire était fourni avec notamment des rappels sur l'utilisation des complexes en python et du module scipy.integrate.

L'énoncé de la question 5 démandait $\sum \frac{1}{n^2\,ln(n)}$ et non $\sum \frac{1}{n\,ln^2(n)}$, mais cela devait être une erreur d'énoncé puisqu'il s'agit d'une étude du cas $\alpha=1$ (auquel la suite $u_n=\frac{1}{n^2\,ln(n)}$ ne se rapporte manifestement pas).

Pour la question 6, j'avais envisagé d'utiliser le théorème du cours. L'examinateur m'a répondu qu'il ne s'applique apparemment qu'aux paramètres réels. J'ai donc montré la continuité par caractérisation séquentielle.