Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

On se place dans $E$ un espace préhilbertien.

1) Soit $p$ un projecteur. Montrer que $E=Ker(p)\oplus Im(p)$ et exprimer $tr(p)$ en dimension finie.

2) Soit $p$ un projecteur orthogonal. Montrer que $p$ est autoadjoint.

3) Soient $(p_1,p_2,...,p_k)$ des projecteurs orthogonaux. On pose $m=\frac{1}{k}\displaystyle\sum_{i=1}^kp_i$. Montrer que $m$ est un projecteur si et seulement si $p_1=p_2=...=p_k$.

Commentaires divers

L'examinateur m'a demandé de redémontrer un grand nombre de résultats basiques (linéarité de l'application $u\mapsto u^*$, $\lVert p(x)\rVert\leq\lVert x\rVert$ pour $p$ projecteur orthogonal...), ce qui ne m'a pas laissé le temps d'aller plus loin. L'énoncé comportait une quatrième question.