Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1:

Soit $T$ une variable aléatoire à valeur dans $\mathbb{N}$ tel que $\mathbb{P}(T \geq n)>0$, posons de plus $\theta_{n} = \mathbb{P}(T = n| T \geq n) $

1. Montrer que $\theta_{n} \in [0,1[$
2. Donner une écriture de ${P}(T \geq n)$ en fonction de $\theta_{n}$ et en déduire que $\sum\theta_{n}$ diverge.
3. Réciproquement, on suppose l'existence de $\theta_{n}$ tel que $\theta_{n} \in [0,1[$ et $\sum\theta_{n} > +\infty$. Démontrer l'existence d'une variable aléatoire $T$ tel que $\mathbb{P}(T \geq n)>0$.

Exercice 2:

Soit $\displaystyle f(x) = \sum_{k = 1}^{+\infty} \frac{\sqrt{k}}{k!}x^{k} $.

1. Donner le domaine de définition de $f$
2. Montrer : $\forall x\in\mathbb{R}_{+},~~ f(x) \leq \sqrt{x}\exp{x}$
3. Calculer $f(x^2)$ (ou $f(x)^2$ j'ai un doute)
4. Calculer $\mathbb{V}(X)$ pour $X\leadsto\mathcal{P}(\lambda)$ (où quelque chose du genre ça me semble un peu facile)

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

1.1. Par l'absurde

2.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz

Commentaires divers

Plutôt destabilisé par l'exercice 1, l'examinateur a aidé à engager un dialogue pour avancer. L'exercice 2 est bien plus classique (même si je ne suis pas allé au bout).