Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Physique-Chimie - Informatique

Énoncé(s) donné(s)

I) 

On considère une spire de résistance $R$, d'inductance $L$, de centre $O$ et de rayon $a$, dans le plan $Oxy$.

On la place dans un champ magnétique $\overrightarrow{B_e}=B_e(t)\overrightarrow{e_z}$ d'expression $B_e(t)=B_0t/\tau$ pour $t\in[0,\tau]$ et $B_e(t)=B_0$ pour $t>\tau$.

On note $B_{spire}$ le champ créé par la spire, d'expression au point $O$ $B_{spire}=\frac{\mu_0 i}{2a}$ lorsque la spire est parcourue par un courant d'intensité $i$.

1) En régime établi, déterminer $B_{spire}$.

2) On néglige la résistance $R$ de la spire. On pose $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B_e}+\overrightarrow{B_{spire}}$. Déterminer $\sigma$ tel que $\overrightarrow{B}=(1-\sigma)B_0\overrightarrow{e_z}$ en régime établi.

II)

On considère un dipôle magnétique de moment magnétique $\overrightarrow{\mu}$ et de moment cinétique $\overrightarrow{\sigma}$ autour de son axe, liés par la relation linéaire $\overrightarrow{\mu}=\gamma\overrightarrow{\sigma}$, placé dans un champ magnétique extérieur $\overrightarrow{B_e}=B_0\overrightarrow{e_z}$.

1) Rappeler la nature des interactions entre le dipôle et le champ $\overrightarrow{B_e}$ et montrer que $\sigma$ vérifie : $\frac{d\overrightarrow{\sigma}}{dt} = (\omega_0 \overrightarrow{e_z})\wedge\overrightarrow{\sigma}$ où on exprimera $\omega_0$.

2) En déduire que $\sigma_z$ et $\lVert\overrightarrow{\sigma}\rVert$ sont constantes.

3) On pose $\underline{\sigma}=\sigma_x+i\sigma_y$. Montrer que $\frac{d\underline{\sigma}}{dt}=i\omega_0\underline{\sigma}$ puis en déduire $\sigma_x(t)$ et $\sigma_y(t)$. Expliquer pourquoi ce mouvement est appelé mouvement de précession.

III) 

On ajoute un champ $\overrightarrow{B1}$ donné par $\overrightarrow{B1}=B_1e_X$, où $e_X=cos(\omega t)e_x+sin(\omega t)e_y$. On note $R_0$ le référentiel terrestre $(O,\overrightarrow{u_x},\overrightarrow{u_y},\overrightarrow{u_z})$ et $R_1$ le référentiel en rotation uniforme de pulsation $\omega$ autour de $R_0$.

1) Établir une équation différentielle sur $\overrightarrow{\sigma}$ dans $R_0$ puis dans $R_1$.

2) Simplifier l'expression lorsque $\omega=\omega_0$ (résonance).

3) Décrire l'allure du mouvement.

Commentaires divers

Même s'il s'agit d'un sujet de physique-informatique, je n'ai pas eu à utiliser l'ordinateur à disposition (y compris pour une application numérique).

Un document était fourni avec notamment les expressions $E_p=-\overrightarrow{\mu}\cdot\overrightarrow{B}$,   $\overrightarrow{\Gamma}=\overrightarrow{\mu}\wedge\overrightarrow{B}$   ainsi que la formule :

$$\left( \frac{d\overrightarrow{U}}{dt}\right)_{R_0}=\left( \frac{d\overrightarrow{U}}{dt}\right)_{R_1}+\overrightarrow{\Omega}_{R_1/R_0}\wedge\overrightarrow{U}$$

Le sujet comportait une quatrième partie constituée d'une question ouverte sur la modélisation d'un atome, que je n'ai pas traitée.

Enfin, la restitution que j'en fais est de mémoire, donc peut être différente de l'énoncé exact reçu.