Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit u un endomorphisme de E =Rⁿ  tel que u³ + u² + u = 0

1) Déterminer Ker(u)∩Ker(u²+u+id).

2) Montrer que Ker(u²+u+id)=Im(u). En déduire que E=Im(u)⊕Ker(u).

3) Soit v l'endomorphisme induit par u sur Im(u). Que représente le degré du polynôme caractéristique de v par rapport à u ?

4) Montrer que 0 n'est pas valeur propre de v. En déduire que le rang de u est pair.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Après avoir montré que 0 n'était pas valeur propre de v : "s'intéresser aux autres valeurs propres possibles de v "

Commentaires divers