Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $u_n$ définie par
\[u_n(x)=e^x-\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\]
 1. Montrer que pour tout $n\in\N$ et tout $x\in \R$,
 \[|u_n(x)|\leq e^{|x|}\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\]
 En déduire que $\sum n(-1)^nu_{2n}(x)$ converge pour tout $x\in \R$.
 
 2a Tracer sur Python quelques sommes partielles de la série précédente sur $[-1,1]$
 2b Conjecturer l'existence et la valeur de $c\in \R$ tel que
 \[\sum_{n=1}^\infty n(-1)^nu_{2n}(x)=c((x+1)\cos(x)+x\sin(x)-e^x)\]
 
 3. Soit $f\ :\ \R\to \R$ DSE de rayon $R$. Soit $v_n\ :\ x\mapsto nf^{(n)}(0)u_n(x)$.
 Montrer que $\sum v_n$ converge simplement sur $]-R,R[$.
 
 4. Trouver une équation différentielle du premier ordre d'exprimant en fonction de $f$ et dont la somme $v$ de la série précédente est solution sur $]-R,R[$.
 
 5. ...

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

Faire attention à la complexité du code

Bien justifier la dérivabilité et l'expression dérivée de v

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