Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1:

Soit $\alpha$ un réel. On note $$\forall n \in \mathbb{N}, \quad v_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(n+k)^\alpha}$$

1) Etudier la convergence de $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

2) Etudier la convergence de la série de terme général $v_n$.

Exercice 2:

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie.

Soient $ f, g \in \mathcal{L}(E), $soit $ \alpha $ un réel non nul tel que $f \circ g - g \circ f = \alpha f$.

1) Trouver pour tout $ n\in \mathbb{N}$ une relation pour $f^n \circ g - g \circ f^n$.

2) Montrer qu'il existe $ n\in \mathbb{N^*}$ tel que $f^n$ = 0.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers