Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telle que $M M^T =  M ^TM$ et $M^2 + 2I_2 = 0$

1) Montrer que $M ^TM$ est diagonalisable.

2) Montrer que $\text{Sp}(M ^TM) \subset \{-2, 2\}$.

3) Montrer que les valeurs propres de $M ^TM$ sont positives ou nulles et en déduire le spectre de $M ^TM$.

4) Montrer que $\frac{1}{2}M$ est orthogonale et antisymétrique.

5) En déduire les matrices $M$ possibles.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pour la question 2 : rechercher un polynôme annulateur

Commentaires divers