Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien muni d'un produit scalaire noté $\langle \cdot, \cdot \rangle$.
Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme de $E$ vérifiant la propriété suivante :
\[ \forall x \in E, \quad \langle f(x), x \rangle = 0 \]
1. Montrer que l'orthogonal du noyau de $f$, noté $(\operatorname{Ker} f)^\perp$, est stable par $f$.
2. Montrer que $\operatorname{Ker} f$ et $\operatorname{Im} f$ sont orthogonaux.
Exercice 2
On considère la suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $a_0 = 1$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
\[ a_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} a_k \]
Soit $f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ la série entière associée, de rayon de convergence $R > 0$.
1. Exprimer la quantité $\dfrac{z f(z)}{1 - z}$ sous forme d'une série entière en fonction des termes de la suite.
2. En déduire une équation vérifiée par $f(z)$, puis déterminer l'expression explicite de $a_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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