Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

On étudie la température au sein d'un astéroïde modélisé par une sphère de rayon $R$, de conductivité $\lambda$; à l'équilibre thermodynamique. De l'énergie est libérée à l'intérieur de l'astéroïde par radioactivité : pendant un temps $d t$, chaque élément de volume $d \tau$ de l'astéroïde reçoit une énergie $\mathcal{P} d \tau d t, \mathcal{P}$ étant une constante. On raisonne sur une sphère de rayon $r<R$, indéformable et au repos.

1-De quelles variables dépend la température dans l'astéroïde?
2-Calculer la chaleur cédée par la sphère de rayon $r$ par conduction, en fonction notamment de la conductivité $\lambda$ de l'astéroïde et du rayon $r$ de la sphère.

3-Calculer la chaleur créée dans la sphère de rayon $r$ par radioactivité.
□ 4-Exprimer $T(r)$ en fonction de $\lambda, \mathcal{P}, r$ et $T_0$ la température au centre de l'astéröde.

5-L'astéroïde émet à sa surface par rayonnement une puissance surfacique $\mathcal{P}_{\text {ray }}=\sigma T_{\mathrm{s}}{ }^4$, avec $\sigma$ une constante et $T_{\mathrm{s}}$ la température de surface.
□ 6-Déterminer la température $T_0$ au centre de l'astéroïde en fonction de $R, \lambda$, $\sigma$ et $\mathcal{P}$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers