Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

15min de préparation 

$\textbf{Exercice 1} :$

1) Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière : $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \Biggl(\frac{x^{2n+2}}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2}\Biggr)$

2) En déduire $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \Biggl(\frac{1}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2}\Biggr)$

$\textbf{Exercice 2} :$

Un meuble à 7 tiroirs comporte un objet avec une probabilité $p$. Un examinateur fouille les 6 premiers tiroirs et ne trouve pas l'objet. Quelle est la probabilité que l'objet se trouve dans le 7ème tiroir ?

$\textbf{Exercice 3} :$

Soient $(x,y)\in \mathbb{R}^2 / y \neq0$, $z=x+iy$    et    $\forall n\in \mathbb{N},\quad  f_{n,z}\ :\ t \in \mathbb{R} \longmapsto\displaystyle \frac{1}{(t-z)^n}$

1) Pour quelles valeurs de $n$, $f_{n,z}$ est-elle intégrable sur $\mathbb{R}$ ?

2) Trouver une primitive de $f_{n,z}$.

3) Calculer son intégrale sur $\mathbb{R}$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

1.1) : L'examinateur m'a orienté sur la décomposition en fractions rationnelles parce que la technique que j'avais trouvée pendant la préparation mais que je n'avais pas eu le temps de mettre à bout était plus longue. 

Commentaires divers

L'exercice 3 ayant été donné à l'oral, je suppose qu'il possédait une suite.