Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Partie avec préparation (de 15 min) :

1) Soit $P(X) = X^3-X^2-X-1$, montrer que P admet une unique racine réelle dans ]1, 2[ et deux racines complexes de module inférieur à 1.

2) On lance n fois une pièce équilibrée de manière indépendante et on note $A_n$ l'événement : "la pièce fait trois fois pile d'affilée pour la première fois au n-ème lancer". Trouver une relation de récurrence sur $a_n = \mathbb{P}(A_n)$.

3) Étudier la convergence de $\sum a_n2^n$.

Partie sans préparation :

1) Soit $S \in S_n^{++}(\mathbb{R})$, montrer qu'il existe $P \in GL_n(\mathbb{R})$ tel que : $S = P^{T}P$.

2) Trouver le sous-espace vectoriel engendré par $S_n^{++}(\mathbb{R})$ ?

3) Soient $A_1, A_2, ..., A_n \in S_n^{++}(\mathbb{R})$ et $(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n) \in \mathbb{R}^n$, montrer que :

$|\det \bigl(\alpha_1A_1+\alpha_2A_2+...+\alpha_nA_n \bigr)| \leqslant \det \bigl(|\alpha_1|A_1+|\alpha_2|A_2+...+|\alpha_n|A_n \bigr)$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers