Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Déterminer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-\left(x + \frac{1}{2}\right)^n}}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x$

$\ex 2$

Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $\mathrm{Tr}(u^k) = 0$. 
Montrer que $u$ est nilpotent.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pour le 2nd exercice, considérer des valeurs propres 2 à 2 distinctes.

Commentaires divers

Quelques questions orales de cours, exemple : "Quel théorème pour affirmer que si le polynome caractéristique d'un endomorphisme est X^n alors cet endormoprhisme est nilpotent."