Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1 : Avec préparation

On pose $I=\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin^3(t)}{t^2}\,d t$.

1. Justifier la convergence de $I$.
2. Montrer $\forall t\in\R$, $\sin^3(t)=\frac{3}{4}\sin(t)-\frac{1}{4}\sin(3t)$.
3. Montrer que $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{\sin^3(t)}{t^2}\,d t=\frac{3}{4}\underset{x\to 0^+}{\lim}\int_x^{3x} \frac{\sin(t)}{t^2}\,d t$.
4. Soit $g : t\in\R^*\longmapsto\displaystyle  \frac{\sin(t)-t}{t^2}$. Montrer que $g$ est prolongeable par continuité en $0$. 
5. Calculer $I$.

Exercice 2 : Sans préparation

On pose $\quad M(a,b,c)=\begin{pmatrix} a & 0 & c \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & a \end{pmatrix} \quad \text{avec} (a,b,c)_in\R^3.$

1. Déterminer les valeurs propres de $M(a,b,c)$.
2. Déterminer $\det(M(a,b,c))$. En déduire le noyau et l'image si $\det(M(a,b,c))\ne 0$.
3. Montrer que $M(a,b,c)$ est diagonalisable et la diagonaliser. 

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers