Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$ (15 min de préparation)

Soit $A = \begin{pmatrix}0 & 1 & \ldots & 1\\ 1 & 0 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots &  \ddots & \vdots\\ 1 & 0 & \ldots & 0\end{pmatrix} \in \mathscr M_n( \mathbb R)$ avec $n \geqslant 3$.

1) Justifier que $A$ est diagonalisable.

2) Déterminer $\alpha \in \mathbb R$ tel que $A^3 + \alpha A = 0$.

3) En déduire $\mathrm{Sp}(A)$. Déterminer ensuite les espaces propres de $A$.

4) Calculer $\mathrm{tr}(A^k)$ pour tout $k \in \mathbb N$.

5) (Question ajoutée à l'oral) La base de vecteurs propres trouvée en 3) est-elle orthonormale ? Comment feriez-vous pour l'orthonormaliser ? Quelles seraient les conséquences pour la matrice de changement de base ?

$\ex 2$ (Sans préparation)

Déterminer le rayon de convergence et l'expression de la somme de la série entière $\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} u_n x^n$ avec : $$u_n = \displaystyle\frac 1n \cos \left( \frac \pi 4 + n \frac \pi 2 \right)$$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Exercice 2 : Faire un dessin du cercle trigonométrique pour calculer les valeurs de $\displaystyle\cos \left( \frac \pi 4 + n \frac \pi 2 \right)$.

Commentaires divers

J'ai présenté le premier exercice d'une traite sans aide ni contretemps. J'ai trouvé le second exercice assez long et très calculatoire, mais il permet d'aborder beaucoup de méthodes et d'astuces d'analyse !