Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1

Notons $E=\{f\in \mathcal{C}^0(\R_+,\R) | \int_{0}^{+\infty}f^2 < +\infty\}$ qu'on munit de la norme suivante: $||f||= \sqrt{\int_{0}^{+\infty}f^2}$.

Soit $f\in E$, on note $\forall x \in\R_+^*, Tf(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt$ et $Tf(0) = f(0)$.

1) a) Enoncer le théorème qui traite de la dérivabillité de $x\mapsto \int_{a}^{x}f(t)dt$ 

    b) Montrer que $Tf$ est continue sur $\R_+$

    c) Montrer que $\forall x\in \R_+^*, Tf(x)^2 \leq \frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt$

2) Montrer que $\forall A >0, \int_{0}^{A} Tf(x)^2dx \leq 2\int_{0}^{A}\frac{f(x)}{x}\int_{0}^{x}f(t)dtdx$
En déduire que $Tf\in E$ et $||Tf|| \leq 2||f||$

3) Montrer que l'inégalité $||Tf|| \leq 2||f||$ est atteinte pour un certain $f$ (On pourra considérer les fonctions $t\mapsto t^a)$

Exercice 2

Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\C)$ et posons $B =\left(\begin{array}{cc}  A & A^2\\ I_n & A \end{array} \right)$.

1) Exprimer $\pi_B$ en fonction de $\pi_A$ 

2) Si l'une est diagonalisable, l'autre l'est-elle aussi ?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Exo 1 Q2:
J'ai eu l'idée de faire une intégration par partie, l'examinateur m'a aidé à trouver l'expression sur laquelle il faut la faire et m'a conseillé de passer aux intégrales partielles (pour éviter un problème en 0, ce qu'il m'avait pas encore dit).

Commentaires divers