Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1

$m \geq 3$ impair, $\omega = e^{i\frac{2\pi}{m}}$.

1) Factoriser $Q(X) = 1 + X + \cdots + X^{m-1}$.

2) Calculer $\displaystyle\prod_{k=1}^{m-1} \frac{1+\omega^k}{1-\omega^k}$.

3) Calculer $\displaystyle\prod_{k=1}^{m-1} \tan\!\left(\frac{k\pi}{m}\right)$.

Exercice 2

On dispose d'un QCM de 40 questions avec 4 réponses pour chaque question dont une seule est juste.
Un élève répond au hasard pour chaque question.
Soit $i\in[\![1,40]\!]$.
$X_i$ vaut $1$ si la réponse à la question $i$ est bonne et $0$ sinon.
$Y_i$ est le nombre de points obtenus à la question $i$ : $+3$ pour une bonne réponse et $-1$ sinon.
$Y$ est la note totale de l'élève $\in [-40,\, 120]$.

1) Loi de $X_i$.

2) Exprimer $Y$ en fonction de $X_i$.

3) $E(Y)$.

4) À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer la probabilité que l'élève obtienne au moins $60$ points?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers