Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

Soit $f  : \left( x \mapsto \displaystyle\sum_{n = 0}^{+\infty} (1-x)x^{3n}\right)$

1) Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$. Calculer la valeur de $f$ sur $D_f$.

2) Est-ce que la série définissant $f$ converge uniformement sur $D_f$ ?

3) En déduire la valeur de $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(3n+1)(3n+2)}$.

$\ex 2$

Soit $n \geqslant 2$. Soit $A \in \mathscr M_n(\mathbb K )$ tel que $\mathrm{rg}(A) = 1$.

Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $\mathrm{tr}(A) \neq 0$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Mn(R)Mn(R)

Commentaires divers