Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1 :

On donne $p_n = a \frac{2^n}{n!}$ la probabilité qu'une famille ait exactement $n$ enfants. La probabilité qu'un enfant soit un garçon est la même que celle d'avoir une fille.

1. Calculer $a$.

2. Déterminer la probabilité qu'une famille ait au moins un garçon.

3. Déterminer la probabilité qu'une famille ayant exactement une fille, ait deux enfants.

Exercice 2 :

1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n \ge 0} S_n x^n$ avec $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$.

2. Calculer $f$ la fonction associée à cette série entière.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

 Poser $A_n = \sum_{k=0}^n x^k$ et remarquer que $x^n = A_n - A_{n-1}$.

Commentaires divers

L'examinateur très sympa et heureux d'être là, j'ai passé un très bon moment avec lui.