Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Physique LSR

Énoncé(s) donné(s)

On considère un axe horizonal $(Oz)$ et des points $O_i$ sur cet axe, régulièrement espacés et séparés d'une distance $d$. En chacun de ces points $O_i$ se trouve l'extrêmité fixe d'un pendule pesant constitué d'une barre de métal homogène de masse $m$, de longueur $l$, pouvant osciller librement dans le plan $(O_ixy)$ avec un moment d'inertie selon l'axe $(Oz)$ valant $J=ml^2/3$. On note $\theta_i(t)$ l'angle entre le pendule $i$ et la verticale au cours du temps.

Entre chacuns des points $O_i$ et $O_{i+1}$ se trouve un fil de torsion exerçant un couple $\;\overrightarrow{\Gamma} = C\,(\alpha_1-\alpha_2)\,\overrightarrow{u_z}\;$ sur les deux pendules adjacents (avec $\alpha_1$ et $\alpha_2$ les angles $\theta_i$ et $\theta_{i+1}$ selon le pendule où le couple s'applique).

1) Déterminer une équation différentielle sur $\theta_i$ (faisant intervenir d'autres angles).

On pose désormais $\theta(z,t)$ la fonction d'une variable spatiale et du temps définie par $\theta(id,t)=\theta_i(t)$.

2) Dans l'hypothèse où la distance $d$ est négligeable, en déduire une équation différentielle sur $\theta$.

3) Dans le cadre de l'approximation des petits angles, une OPPM peut-elle être solution ?

Questions supplémentaires posées par l'examinateur

Y a-t-il des différences avec le cas de pendules simples ?

Déterminer la relation de dispersion. Commenter. À quel type de filtre ce système peut-il s'apparenter ? S'agit-il d'un milieu dispersif ? Dissipatif ?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Utiliser les cas limites $C=0$ ou $\theta_{i+1}, \theta_{i-1} = 0$ pour vérifier les signes.

Commentaires divers

Pour la question 2, identifier les différences de $\theta_i$ à des dérivées spatiales (à l'ordre 1 en $d$)