Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Maths ULSR

Énoncé(s) donné(s)

Soit $E$ un espace euclidien

1) Mq $O(E)$ est un compact de $\mathscr{L}(E)$.

Un endomorphisme $f$ de $E$ est dit $ε$-isométrie si $\forall\,x \in E,\;x\neq0,\;|\, \lVert f(x)\rVert - \lVert x\rVert\,| < ε \lVert x\rVert$

2) Montrer que si $f$ est une $ε$-isométrie avec $ε<1$  alors $f^*$ est une $ε$-isométrie.

3) Montrer que $\forall δ>0, \exists ε>0;\; f\; ε$-isométrie $\Rightarrow d(f,O(E)) \le δ.$

Où $d(f,O(E))=\min\{d(f,g),\;g\in O(E)\} $ vu la compaxité de $O(E)$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Écrire $\lVert x\rVert=\max \{\langle x,y\rangle,\;y\in S(0,1)\}$, où $S(0,1)$ désigne la sphère unité de $E$.

Commentaires divers

Pour la question 2, démontrer deux inégalités séparément en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz ainsi que son cas d'égalité. Utiliser l'inversibilité des $ε$-isométries pour $ε<1$.