Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

1) On considère $I = \displaystyle\int_0^{+ \infty}\mathrm e^{-t^2}\mathrm dt$.

Montrer que $I$ converge et que $\displaystyle\lim_{n \ \to \ +\infty} \displaystyle\int_0^{\sqrt{n}}\left(1-\frac{t^2}{n} \right) \mathrm dt = I$

2) On considère $W_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^n(t) \mathrm dt$ pour $n \in \mathbb N$.

a) Montrer que $\displaystyle\lim_{n \ \to \ + \infty} \displaystyle\sqrt{n} \ W_{2n+1} = I$.

b) Montrer que $n \ W_n \ W_{n-1} = \displaystyle\frac \pi 2$.

c) Montrer que $W_n \sim \sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2n}}$.

3) En déduire la valeur de $I$.


$\ex 2$

Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel. Soit $f \in \mathcal L(E)$. Soit $P \in \mathbb R [X]$ tel que $P(f) = 0$.

De plus, on sait que $P(0) = 0$ et $P'(0) \neq 0$.

Montrer que $E = \ker(f) \oplus \im(f).$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

1) Il faut définir l'intégrande comme une fonction continue par morceaux.

2a) Utiliser un changement de variable.

2c) Ne pas oublier de montrer que $W_n \sim W_{n-1}$.

Exercice 2 : Il faut montrer que $\ker(f)  \cap \im(f) = \{0\}$

Commentaires divers

Exercice 1 sur le calcul de l'intégrale de Gauß via les intégrales de Wallis.