Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $M \in  \mathscr M_2(\mathbb R)$. On suppose que $\det(M^{2024} - I_2) = \det(M^{2024} + I_2)$ et que $\det(M^{2026} - I_2) = \det(M^{2026} + I_2)$. Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$ : $\det(M^n - I_2) = \det(M^n + I_2)$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Intéressez-vous au polynôme caractéristique d'une matrice bien choisie. Traitez le cas où la trace de $M$ est nulle puis non nulle.

Commentaires divers