Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ tel que toute matrice $M\neq 0_n$ de $V$ est inversible.

1) Soit $A\neq 0_n$ et $B$ dans $V$. Montrer que $\det(xA+B)$ est une fonction polynomiale de degré $n$.

2) Quelle est la dimension de $V$ :

a) si $\K=\C$ ;

b) si $\K=\R$ et $n$ impair.  

3) Cas $\K=\R$ et $n=2$. Montrer que la dimension maximale de $V$ est 2.  

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers