Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)[Jeu sur des groupes]
1/Montrer que les sous-groupes de $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $ sont cycliques.

2/Alice et Barbara jouent à un jeu. Elles choisissent à tour de rôle un élément de $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $ sans remise qu'elles ajoutent à un ensemble $S$. Le jeu s'arrête quand $S$ engendre $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $ et la joueuse ayant tiré le dernier numéro perd. Selon $ n $, y a-t-il une stratégie gagnante pour la première joueuse ?

3/ Même question avec le groupe $ \mathfrak{S}_n $.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

1/ Regarder la surjection canonique de $\Z$ dans $\frac{\Z}{n\Z}

2/Si la valuation 2-adique de n est inférieur ou égale à 1, la premiére joueuse posséde une stratégie gagnante.

Sinon, la seconde en posséde une.

3/ Montrer que les sous-groupe maximaux du groupe des permutations ont un cardinal pair.

Commentaires divers

bon courage