Soit $\vec{B}=B(r)\vec{u_r}$, calculer $\phi = r^2 B(r) \int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^\pi\sin\theta d\theta$. Expliciter $B$ si $\phi=1$.
Soit $A_\varphi(\theta)$ tel que $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\nabla}\wedge \overrightarrow{A}$, c'est-à-dire $B(r)=\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial(A_\varphi\sin\theta)}{\partial \theta}$. En posant $A'_\varphi = A_\varphi \sin\theta$ montrer que $A'_\varphi(\theta)-A'_\varphi(\text{ref})=...$ est solution.
Si $A'_\varphi(\theta_\text{ref})=0$ et $\theta_\text{ref}=0$ alors montrer qu'une hypothèse est fausse. On distingue alors $$\left\{\begin{array}{llll}\theta_\text{ref}=0 &\text{si } \theta<\theta_c \\\theta_\text{ref}=\pi &\text{si } \theta>\theta_c\\\end{array}\right.$$ Expliciter $A'_\varphi(\theta)$ dans les deux cas.
Calculer $\partial_\theta A'_\varphi(\theta)$ dans les deux cas et montrer que $\phi = 2\pi r (A'_\varphi(\theta_c^-)-A'_\varphi(\theta_c^+))$
On introduit $\tilde{A}_\varphi(\theta)=-Br\sin\theta$, montrer que $\phi = 2\pi r (\tilde{A}_\varphi(\pi)-\tilde{A}_\varphi(0))$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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