Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$

$m \geqslant 3$ impair.
1) Factoriser $Q(X) = 1 + X + \dots + X^{m-1}$
2) Calculer $\displaystyle \prod_{k=1}^{m-1} \frac{1 + \omega^k}{1 - \omega^k}$ (où $\omega$ est une racine $m$-ième de l'unité)
3) Calculer $\displaystyle \sum_{k=1}^{m-1} \tan\left(\frac{k\pi}{m}\right)$

$\ex 2$

Soit un QCM de 40 questions avec 4 réponses, dont une seule est juste. 
Un élève répond au hasard pour chaque question.

Soit $X_i$ la variable aléatoire définie par :
$ X_i = 
\begin{cases} 
1 & \text{si la réponse à la question } i \text{ est bonne} \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
.$
Une bonne réponse apporte $3$ points et une mauvaise $-1$ point.
Soit $Y_i$ le nombre de points obtenus à la question $i$.
Soit $Y$ la note totale de l'élève ($Y \in [-40, 120]$).

1) Loi de $X_i$
2)Exprimer $Y_i$ en fonction de $X_i$
3) Calculer $E(Y)$
4) A l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer la probabilité que l'élève obtienne au moins $60$ points?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers