Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s) 

$\ex 1$

On veut montrer que $\quad\displaystyle J = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} \, dt = \frac{\pi}{2}$.
On pose $\quad\displaystyle I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin((2n+1)t)}{\sin(t)} \, dt\quad$ et $\quad\displaystyle L_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin((2n+1)t)}{t} \, dt$.

1) Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N}, \ I_n = \frac{\pi}{2}$. 
Indication : calculer $I_n - I_{n-1}$.
    
2) Soit $\phi \in \mathcal{C}^1([0, \frac{\pi}{2}], \mathbb{R})$. Montrer que :
    $$ \lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{\pi/2} \phi(t) \sin((2n+1)t) \, dt = 0 $$
    
  3) Conclure quant à la valeur de l'intégrale $J$.

$\ex 2$

On pose $T = \begin{pmatrix} \alpha&c&d&e\\0&\alpha&f&g\\0&0&\beta&h\\0&0&0&\beta\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_4(\mathbb{C})$.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha$, $\beta$, $c$, $d\dots$ pour que $T$ soit diagonalisable.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers