Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Soit $n\in \N$ et $\alpha\in \R$, on définit $f$ sur $\R$ par 

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\mathrm e^{(n+1)x}-1}{\mathrm e^x-1}, & \textrm{si }x\neq 0 \\ \alpha &\textrm{si } x=0. \end{cases}$$

1. Déterminer $\alpha$ pour que $f$ soit continue sur $\R$. 
2. Effectuer le développement limité à l'ordre 2 de $f$ en $0$.
3. Soit $p\in \N$, on définit $S_p(n) = \displaystyle\sum_{k=0}^n k^p$. Que remarquez-vous ? 
4. Proposer une idée pour déterminer $\displaystyle\sum_{k=0}^n k^3$, puis $\displaystyle\sum_{k=0}^n k^p$.