Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1 :

On considère un smartphone qui émet dans l'air une onde électromagnétique plane monochromatique polarisée rectilignement de  pulsation $\omega$. Elle se propage selon les $z$ croissants. À $z \ge 0$, on a du cuivre de conductivité électrique $\gamma$.

- Trouver l'équation différentielle vérifiée par le champ électrique dans le cuivre et donner l'expression de ce champ électrique.

- Trouver la profondeur à laquelle l'onde se propage dans ce milieu.

- Calculer l'énergie dissipée dans le cuivre.

Données ; 

 $\vec\Delta \vec{A} = \overrightarrow{\mathrm{grad}}(\mathrm{div} \vec{A}) - \overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{rot}} \vec{A})$
 $\vec{E}_2 - \vec{E}_1 = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\vec {n}_{1\to2}$

Exercice 2 :

On fait passer un courant d'intensité $I$ dans un fil de cuivre cylindrique,
infiniment long, de rayon $a$, dont l'axe coïncide avec l'axe $Oz$.
On note $\lambda$ la conductivité thermique du cuivre, $\rho$ sa résistivité
électrique, et $T_0$ la température de l'environnement.

Déterminer le rayon minimal $a$ pour lequel le fil ne fond pas, dans les cas suivants :

1. En supposant que la température est homogène dans le fil.

2. En supposant que la température est une fonction de $r$, la distance à l'axe.