Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$ est un espace probabilisé.  
Soit $(e_i)_{i\in I}$ une famille de vecteurs unitaires de $\mathbb R^m$.

On note
\[
\mathrm{Coh}\big((e_i)_{i\in I}\big)
= \sup_{\substack{i,j\in I\\ i\neq j}} \left| \langle e_i , e_j \rangle \right|.
\]

1\  
a\ Rappeler l’inégalité de Cauchy--Schwarz.

b\ Si $\mathrm{Coh}\big((e_i)_{i\in I}\big)=0$, que peut-on dire de la famille $(e_i)_{i\in I}$ ?

c\ Soit $X:\Omega\to\mathbb R$ une variable aléatoire discrète bornée.  
Montrer que, pour tout $t\in\mathbb R$, $e^{tX}$ est d’espérance finie.

2\ Soit $\varepsilon\in]0,1[$.  
Soit $(e_i)_{i\in I}$ une famille de vecteurs unitaires de $\mathbb R^m$ telle que
\[
\mathrm{Coh}\big((e_i)_{i\in I}\big)\le \varepsilon.
\]
Montrer que l’ensemble $I$ est de cardinal fini.

3\ On appelle variable aléatoire de Rademacher toute variable aléatoire $X$ telle qu'il existe 
$X_1,\dots,X_m:\Omega\to\mathbb R$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes qui suivent la loi de $X_1$ où  \[X_1(\Omega)=\{-1,1\}\]

\[
\mathbb P(X_1=1)=\mathbb P(X_1=-1)=\frac12.
\]et pour tout $\omega\in\Omega$,
\[
X(\omega)=\frac1{\sqrt m}\big(X_1(\omega),\dots,X_m(\omega)\big).
\]

a\ (! Peu abordée, l'inégalité peut être erronée) Pour $X,Y$ variables de Rademacher, montrer que
\[
\mathbb E\big(e^{tXY}\big)\le \exp\!\left(\frac{t^2}{m}\right).
\] 

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pour la question 2 :

i) Minorer la distance  entre $ e_i $  et $e_j$ pour $i,j$ dans $I$ .  
ii) Supposer que $I$ est infini et former une suite.  
iii) Où sont situés les vecteurs ?

Commentaires divers

Malgré les indications, la note peut rester correcte.