Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Soit $\alpha > 0$ un réel. Soit $b$ une fonction continue par morceaux de période $1$. Pour $\epsilon > 0$ on pose 

$$I_{\epsilon} = \int_{\mathbb{R}} b\left(\frac{x}{\epsilon}\right) \boldsymbol{1}_{[0, \alpha]}(x) \ dx$$

Montrer que 

$$I_{\epsilon} \xrightarrow[\epsilon \to 0]{} \alpha \int_0^1b(y) \ dy$$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

- Regarder $\frac{I_{\epsilon}}{\alpha}$.

- Penser à utiliser la partie entière de $\frac{\epsilon}{\alpha}$.

Commentaires divers