Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s) 

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$, $2\pi$-périodique telle que pour tout $x \in [0\,;\,2\pi[$,  $f(x) = \mathrm{e}^x$.

      1. Quels sont les points de discontinuité de $f$ ?

      2. Démontrer que $f$ est bornée sur $\R$. Donner s'ils existent son minimum et son maximum.

      3. Représenter $f$ sur $[-2\pi\,;\,4\pi]$.

      4. Rappeler le théorème de Parseval.

      5. Calculer les coefficients de Fourier de $f$.

     6. Démontrer que $\ds\sum_{n=1}^{+ \infty} \dfrac{1}{n^2+1}
= \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\mathrm{e}^{2\pi}+1}{\mathrm{e}^{2\pi}-1} - \dfrac{1}{2}$.

     7. Déterminer la valeur de $\displaystyle\sum_{n=2}^{+ \infty} \dfrac{1}{n^4-1}$

     8.  \textsc{Python}.

          (a) Représenter $f$ sur $[-2\pi\,;\,2\pi]$.

          (b) On note pour tout $x \in \R$, $S_n(f)(x) = a_0(f)+ \displaystyle\sum_{k=1}^n (a_n(f) \cos(nx)+b_n(f)\sin(nx)$.

                Ecrire une fonction \textsf{Fourier(n)} qui trace le graphe de $f$ sur $[-2\pi\,;\,2\pi]$. Tester avec $n=25$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers