Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s) : Exercice sans préparation

Soient $X_1$, $X_2$, $X_n$,  $n$ variables aléatoires mutuellement indépendantes qui suivent toutes une loi de Bernoulli de paramètre $p \in\; ]0\,;\,1[$.

On note  $X = \begin{pmatrix} X_1\\X_2\\ \vdots \\X_n\end{pmatrix}$ et $M = XX^\top$.

     1. Soit $R$ la variable aléatoire égale au rang de la matrice $M$. Déterminer la loi de $R$.

     2. Soit $T$ la variable aléatoire égale à la trace de la matrice $M$. Déterminer la loi de $T$.

     3. Déterminer la probabilité que $M$ soit la matrice d'un projeteur.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

Exercice dicté au candidat