Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

1) Pour tout $x\geq0$, montrer que $\displaystyle F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos(t)}{t^2}e^{-xt}dt$ existe. 

2) Question informatique 

a) Ecrire une fontion qui renvoie une valeur approchée de F.

b) Tracer $F$ sur l'intervalle $[0;10]$.

c) Conjecturer la valeur de $F$ en $0$.

d) Déterminer à l'aide de valeurs précises, de limites et/ou de tracés les réels (a,b,c) tels que $\forall x\geq0$, $F(x)=a+bx\ln\left(\dfrac{x}{\surd\overline{1+x^2}}\right)+c\arctan(x)$. 

On suppose que la conjecture réalisée sur la valeur de $F$ en $0$ est vraie. 

3) Pour tout $n\in N$, montrer que $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{sin(nt)}{t}dt$ converge et qu'elle vaut $\dfrac{\pi}{2}$.

4) Pour tout $(n,m)\in N^2$, montrer que $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{(\frac{sin(t)}{t})^n+(\frac{sin(t)}{t})^m}{t^2}dt$ converge.

Suite des questions non traitée ( il y avait 7 ou 8 questions au total ) 

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pour la question 3, raisonner d'abord pour n=1 puis généraliser à tout n. 

Commentaires divers