Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1 : 

Soit $S\in S_n^{++}(R)$.

a) Montrer qu'il existe une matrice $A\in S_n^{++}(R)$ telle que $A^2=S$.

b) Montrer que $A^{-1}\in S_n^{++}(R)$ et que $(A^{-1})^2=S^{-1}$.

c) On note $(\cdot \mid \cdot)$ le produit scalaire canonique de $M_{n,1}(R)$. Montrer que pour toute matrice $X\in M_{n,1}(R)$, on a $(X\mid X) \leq (SX\mid X)(S^{-1}X\mid X)$.

d) Dans quel cas a-t-on égalité ? 

Exercice 2 : 

Soit n un entier naturel et x un réel tel que $x \notin \{1,...,n\}$.

On définit : 

$\displaystyle u_n(x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k-x} $

$\displaystyle v_n(x) =  \sum_{k=1}^{n} (-1)^n\binom{n}{k}\frac{k}{(k-x)^2}$

Calculer $\dfrac{u_n(x)}{v_n(x)}$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Pour l'exercice 1, le jury a demandé en question d ce que l'on pouvait déduire de la matrice S dans le cas d'égalité. 

Pour l'exercice 2, il faut utiliser un polynôme.

Commentaires divers