Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

 On pose $d_0=1,\ d_1 =\frac 1 2$ et

                     $\forall n\geqslant 2 , d_n =\displaystyle\begin{vmatrix}\frac{n}{n+1}&\sqrt{\frac{1}{n+1}}&&&0\\-\sqrt{\frac{1}{n+1}}&\ddots&\ddots&(0)\\&\ddots&\ddots&\ddots&\\&(0)&\ddots&\ddots&\sqrt{\frac 1 3}\\0&&&-\sqrt{\frac 1 3 }&\frac 1 2 \end{vmatrix}$.

 

1. Calculer $d_2,d_3$.

2. Montrer que $\forall n\geqslant 2 , (n+1)d_n= nd_{n-1}+d_{n-2}$.

3. En déduire une information sur le rayon de convergence de $\sum d_n x^{n+1}$.

4. On pose $f(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} d_n x^{n+1}$. On admet (pour l'oral, sinon démontrer que) $f$ vérifie l'équation : 

 

                                 $(E): (1-x)f'(x)-xf(x)=1$

   Montrer que $f(x)=\dfrac{1-\mathrm e^{-x}}{1-x}$. En déduire une expression de $d_n$ en fonction de $n$.