Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2025

Filière : MP

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Convergence uniforme - Transformation d'Abel

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Énoncé(s) donné(s)

1. Montrer que $\displaystyle\sum_{n\geqslant1} \dfrac{(-1)^n}{n} x^n$ converge uniformément sur $[0,1]$.

2. Soit $\sum a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $R\geqslant 1$.

On pose $R_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} a_k$. et on suppose que $\sum a_n$ converge.

Montrer que : $\forall x\in[0,1]$, $\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} a_kx^k =R_nx^{n+1} + \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}R_k(x^{k+1}-x^k)$. [On pourra exprimer $a_k$ en fonction de $(R_k)$]

3. En déduire que $\sum a_n x^n$ converge uniformément sur $[0,1]$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Dernière question : majorer $|R_n|$ et $|R_k|$ par $\varepsilon$.

Commentaires divers

Epreuve Orale 8907

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