Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

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Année : 2025

Filière : MP

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Diagonalisation - Espace euclidien

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Énoncé(s) donné(s)

On munit $\R^n$ du produit scalaire canonique. Soit $u,v\in \R^n\setminus\{0\}$ et $u\otimes v$ l'endomorphisme de $\R^n$ défini par :

$\forall x\in E,\ u\otimes v(x) =\langle x,u\rangle v$.

1. Déterminer le rang de $u\otimes v$.

2. En déduire les valeurs propres de $u\otimes v$.

3. $u \otimes v$ est-il diagonalisable ?

4. Calculer $(u\otimes v)^2$ et retrouver la condition trouvée à la question précédente.

5. Soit $g\in\mathcal{L}(\R^n)$.

Montrer que $u\otimes v$ et $g$ commutent si et seulement s'il existe $\alpha\in \R$ tel que $g(v) =\alpha v $ et $g^*(u) = \alpha u$. ($g^*$ étant l'adjoint de $g$).

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

Epreuve Orale 8906

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