Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Epreuve Orale 8905

Année : 2025

Filière : MP

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Développement en série entière - Equation différentielle

Énoncé(s) donné(s)

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 3$ et :

$\forall n\in\N,\ u_{n+1} =\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} u_ku_{n-k}$.

1. Montrer que $\forall n\in\N,\ 0 \leqslant u_n\leqslant 4^{n+1}n!$.

2. On pose $f(x)= \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty}\dfrac{u_n}{n!}x^n$.
Montrer que $f$ est solution de $f'=f^2$ sur un intervalle à préciser.

3. Exprimer $f$ à l'aide des fonctions usuelles.

4. Donner l'expression de $(u_n)$ en fonction de $n$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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